先观察本金如何变化，初始资金为 \(W_0=1\)，第一局盈利率为 \(r_1\)，一局后本金变成：
$$ W_1 = W_0(1 + r_1) = 1 + r_1 $$玩 T 次后：
$$ W_T=W_0\prod_{t=1}^{T}(1+r_t) $$T 局后的本金倍率为：
$$ \frac{W_T}{W_0} = \prod_{t=1}^{T}(1+r_t) $$平均一局给本金带来的变化 G，需开 T 次方：
$$ G = (\frac{W_T}{W_0})^{1/T} = [\prod_{t=1}^{T}(1+r_t)]^{1/T} $$例如，一次赚 \(50\%\)（乘以 1.5 倍），一次亏 \(50\%\)（减半），两局后，本金变为 0.75：
$$ \frac{W_2}{W_0} = 1\cdot1.5\cdot0.5 = 0.75 $$平均每局本金倍率：
$$ G=\sqrt{0.75}\approx0.866 $$显然，平均每局都在亏钱：
$$ 0.866 - 1 = -13.4\% $$亏损的力度更大 #
发现没有，字面上同样的盈利率和亏损率，若发生次数相同，亏损对本金的影响更大：
$$ (1 + f)(1-f) = 1 - f^2 $$只要 f 不为零，这个结果一定比 1 更小。极端的，盈利时挣 100%（一倍盈利），亏损时也亏 100%（一倍本金亏损），无论如何盈利，只要一次亏损本金就清零，永无翻身之可能。
但显然，输赢次数对结果影响甚大，赢 \(T_w\) 次，输 \(T_l\) 次，本金倍率为：
$$ (1+f)^{T_w}(1-f)^{T_l} $$极端情况，全部赢，那就只剩 \(1+f\)，盈利必然只会随着游戏次数不断增加。
$$ (1+f)^{T}(1-f)^0 = (1+f)^{T} $$给定某个 f，\(T_w\) 和 \(T_l\) 存在一个临界值，扭亏为盈，或转盈为亏。还是上述例子，赢 2 次，亏 1 次，3 局后盈利 \(12.5\%\)：
$$ 1.5 * 1.5 * 0.5 = 1.125 $$平均每局盈利率约 \(4\%\)：
$$ 1.125^{1/3} \approx 1.04 $$这个临界值在哪呢？
f 就是下注比例 #
先换个角度看待 f，假设它代表下注的比例；输赢规则改为，输了损失全部下注，赢了得到一倍的下注，那其实 f 就是赔率为 1 时的，下注比例，赢一次、输一次后的本金变化依然符合：
$$ (1+f)(1-f) $$更通用的，设本金是 n，赢一次得到 b 倍本金奖励，输则损失 a 倍本金。下注比例为 f（一般 f < 1，大于 1 即为加杠杆），则赢时本金乘以以下倍数：
$$ 1 + fb $$输时：
$$ 1 - fa $$若 \(fa = fb\)，则是前面讨论的情况。
赔率 #
赔率的定义是：
$$ \text{净盈利} / \text{净损失}\quad\text{(一局游戏后)} $$则上述例子，赔率为：
$$ \frac{fb}{fa} = \frac{b}{a} $$经典情况，a 为 1， 即每次输掉全部下注，赔率就等于 b。
波动拖累 #
更有趣的，只要赔率是 1，即 \(fb = fa\)，且成功失败概率接近时，上面的例子清晰演示了一个，必输光的结局。这种现象叫做 波动拖累；其本质源于，同等百分比下，一次跌比一次涨，力度更强。
T 很大时 #
还是看每局本金倍率公式（等于计算每局平均回报）：
$$ G = (\frac{W_T}{W_0})^{1/T} = [(1+fb)^{T_w}(1-fa)^{T_l}]^{1/T}\quad(W_0 = 1) $$游戏次数 T 足够大时，因大数定律，频率转化为概率：
$$ (1+fb)^{T_w/T}(1-fa)^{T_l/T} =(1+fb)^p(1-fa)^{1-p} $$此时，指数从离散的次数，变成连续概率值。依旧存在一个临界值 p，使得游戏扭亏为盈。它要求每局本金的平均倍率大于 1，这个不等式并不好求解：
$$ (1+fb)^p(1-fa)^{1-p}>1 $$p 的临界值 #
此时可以用对数，它有个好处，化乘为加；两边同时取对数，ln 是严格单调增函数，等式方向不变：
$$ ln[(1+fb)^p(1-fa)^{1-p}] > ln(1) $$对数里的连续乘法，转化为对数加法：
$$ p\cdot\ln(1+fb) + (1-p)\cdot\ln(1-fa) > 0 $$一系列变换后得到 p：
$$ \begin{aligned} p > \frac{-\ln(1-fa)} {\ln(1+fb)-\ln(1-fa)} = \frac{\ln\frac1{1-fa}} {\ln\frac{1+fb}{1-fa}} \end{aligned} $$按上面的例子，盈利和亏损时的百分比一样，即 \(fb = fa = 0.5\)，胜率要超过约 \(63\%\) 才能长期不亏。
$$ p > \frac{ln(2)}{ln(3)} \approx 0.6309 $$回看上述赢 2 次，输 1 次的例子，胜率为 \(75\%\)，高于这个阈值，所以长期依旧盈利。
遍历性（Ergodicity） #
只看算数期望，会发现这个游戏，仅需 \(p>1/2\) 就不亏：
$$ \begin{aligned} 1.5p+0.5(1-p)&>1 \\ p &> \frac{1}{2} \end{aligned} $$即每局本金倍率 \(M_t\) 的期望都为 1:
$$ \mathbb E[M_t] = \frac12(1.5)+\frac12(0.5) = 1 $$但已经发现，只要长期输赢比例几乎相当，本金最终趋于 0（实际为无穷小）：
$$ \lim_{T\to\infty}[(1+0.5)(1-0.5)]^{\frac{T}{2}} = 0 $$这矛盾源于算数期望的遍历性，和收益的乘法性质，是截然不同的。算数期望丈量了所有从头开始的情况，继续这个例子，理论上玩两次后，有四种等可能结果：
$$ \begin{aligned} 0.25 &= 1 * 0.5 * 0.5\quad\text{全输} \\ 0.75 &= 1 * 0.5 * 1.5\quad\text{先输后赢} \\ 0.75 &= 1 * 1.5 * 0.5\quad\text{先赢后输} \\ 2.25 &= 1 * 1.5 * 1.5\quad\text{全赢} \end{aligned} $$四种可能概率相当，都从本金为 1 开始：
$$ \frac{2.25+0.75+0.75+0.25}{4}=1 $$但问题在于，只要待在一条时间线里，本金就不会重置；即这 4 种可能里，你选择一种经历后，继续玩，你不会回到本金为 1。那么计算方法，就回到了先前讨论的基本形式，即你把四种可能都经历一次，因为都是等可能的：
$$ (2.25\times0.75\times0.75\times0.25)^{1/4} =0.75<1 $$必输光。
最佳下注比例 f #
当输赢概率固定时，下注比例会影响长期盈利吗？依旧关注对数收益率，希望长期盈利，即必须对数收益率需大于 0:
$$ g(x) = p\cdot\ln(1+x) + (1-p)\cdot\ln(1-x) > 0 $$求 g(x) 导数，观察极值如何出现：
$$ \begin{aligned} g'(x) &= \frac{p}{1+x} - \frac{1-p}{1-x} \\ &= \frac{2p-1-x}{1-x^2} \end{aligned} $$当导数为 0 时，只能分子为零：
$$ \begin{aligned} \frac{2p-1-x}{1-x^2} &= 0 \\ 2p - 1 &= x \end{aligned} $$比如 \(p = 50\%\)，\(x = 0\)，意味着当胜率只有 50% 时，只有赢的时候既不盈利，输的时候也不亏损，这个游戏才能玩。（其实就是不下注）
那 x 固定式，例如已知为 50%，至少要多少胜率才能长期盈利呢？
$$ p = (0.5 + 1)/2 = 0.75 $$至少要 \(75\%\) 的胜率。这刚好对应上面的例子，3 局里要赢 2 局才能不亏。