行列式跟“式子“毫无关系，它是一个标量。
行列式只适用于方形矩阵，描述了 n 个 n 维向量的空间体积。对二维而言，就是面积。行列式为零表示矩阵无法张成 n 维空间，最多 n-1 维，即不满秩。所以在 n 维上，体积为零。
矩阵的秩: 指矩阵中的线性无关行或列的最大数目。表示矩阵在空间中所能描述的独立方向的数目，即矩阵实际能表达的维度上限。
本篇前提：理解矩阵乘法
写法 #
以二维空间为例，行列式的写法：
$$ \det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} $$意义 #
这个二维矩阵（两个二维列向量）围成的面积为 12：
$$ \det( \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} ) = 4*4 - 2*2 = 12 $$
而这个矩阵，显而易见，因为向量共线，行列式（面积）为零。
$$ \det( \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} ) = 2*(-4) - 4*(-2) = 0 $$
计算 #
二维矩阵 #
先从这个 \(2*2\) 矩阵开始。按行或按列书写向量不重要，结果一样，比如用列向量：
$$ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad - bc $$写成行向量，结果依旧：
$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$为什么这样计算？先是直观的解释：因为结果其实是下图平行四边形的面积。所以不论用行还是列向量书写，面积是不会变的。
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} &= (a+c)(b+d) - ab - cd - 2bc \\ &= ab + ad + cb + dc - ab - cd - 2bc \\ &= ad - bc \end{align} $$
但如果交换两列，行列式的值会变号。
$$ \begin{vmatrix} c & a \\ d & b \end{vmatrix} = cb - ad = -(ad - bc) = -\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} $$右手定则 #
你可能还是会问，不对，我看上面的图两个向量交换了位置，面积不还是一样的吗？这里必须要提的是，坐标空间是有一个绝对的方向的，可以通过右手定则来确定。它没有为什么，不是右手就得是左手，总要有一个定义。右手定则的特征是，从\(z\) 往下看的话，\(x\) 轴（弟一个维度） 在 \(y\) 轴（第二个维度）的顺时针方向。
所以上面所说的交换两列，实际上是把 \(x\) 轴和 \(y\) 轴交换了位置，在绝对的坐标空间里，相当于翻转了空间，所以有向面（体）积就会变号。
于是回过头看上述二维空间行列式的计算公式，\(a\) 是第一维上的底边，\(d\) 就是与其垂直的第二维度上的高，相乘就得到了面积；因为维度之间是平等的，所以同样的事，\(b\) 和 \(c\) 也要做一次。因此相加两个面积就可以了：
$$ ad + bc = \text{面积1} + \text{面积2} $$但是第二部分里的 \(b\) 其实代表的是第二维度上的底边（它是第一个向量的 \(y\)），等于说 \(bc\) 是在翻转过（左手法则）的空间里计算的，结果天然带符号。为了纠正这个翻转，计算时要主动乘上一个负号。
$$ ad + (-bc) = ad - bc $$三维矩阵 #
三维矩阵行列式的计算逻辑和上述针对二维的异曲同工，只是需要一个递归过程降到二维。
$$ \begin{vmatrix} x & y & z \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = x\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} - y\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix} + z\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} $$用一个特殊的例子可以很好解释为什么上面的公式是对的。假设三个向量都在三条坐标轴上，那么 \(x\begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2\end{vmatrix}\) 刚好就是以 \(x\) 为高，乘以在 \(y-z\) 平面上的底面的体积，而那个底面积刚好就是对应子二维矩阵的行列式。同理，这个计算步骤在 \(y\) 和 \(z\) 都要来一次，因为大家都是平等的。
这里又出现了正负号，还是交替，为何？每个轴为高往下看的时候，底面矩阵必须符合右手定则。比如 \(x\) 为高的时候，底面 \(y-z\) 平面的 \(y\)（子矩阵的第一个维度） 正确地位于 \(z\) 的顺时针方向，符合右手定则，无需乘负号。以 \(z\) 为高的方向也符合。但 \(y\) 为高的时候，底面 \(x-z\) 平面的 \(x\) 位于 \(z\) 的逆时针方向，不符合右手定则，等于是在一个翻转的空间里，所以要乘负号纠正。
拉普拉斯展开 #
这个递归的过程可以一直延伸到 \(n\) 维，就是拉普拉斯展开（Laplace Expansion）。这种展开过程会涉及到矩阵中的每一个元素与它的代数余子式（algebraic minor）相乘，其中代数余子式前面会有一个符号因子，符号因子就是所谓的正负号交替。
余子式（Minor） #
于矩阵中的某个元素 \(a_{ij}\) 而言，它的余子式 \(M_{ij}\) 是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的子矩阵的行列式。用上面的例子就是：
$$ M_{11} = \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} $$代数余子式（Algebraic Minor） #
代数余子式是余子式再乘以对应的符号因子。对于矩阵元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式 \(C_{ij}\) 的计算公式如下：
$$ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} $$所以对于 \(3 * 3\) 矩阵，拉普拉斯展开就是：
$$ \begin{align} \det(A) &= a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \\ &= a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13} \\ &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \end{align} $$特性 #
数乘 #
倍增一行（列），即倍增一个向量，行列式也会相应倍增。相当于推动了平行四边形的一个边（三维里是一个面）。
$$ \begin{vmatrix} ka & c \\ kb & d \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = k(ad - bc) $$
但如果是对整个矩阵乘系数 \(k\)，行列式会倍增相应的 \(k^n\) 倍。因为记住，矩阵是有维度的。
$$ \det(kA) = k^n \det(A) $$加法 #
给其中一个向量叠加另一个向量，行列式也会叠加。相当于以同一条边为基准，叠加了两个平行四边形的面积。
$$ \begin{vmatrix} a + a' & c \\ b + b' & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & c \\ b' & d \end{vmatrix} = ad - bc + a'd - b'c $$单位矩阵 #
单位矩阵的行列式为 1。最为优美，意味着它不会变换空间。
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 * 1 - 0 * 0 = 1 $$行列式为零 #
行列式为零是一个重要的特性，代表矩阵无法张成 \(n\) 维空间，最多 \(n-1\) 维，所以在 \(n\) 维上体积为零，比如一个没有高的面或体，不管底边（面）有多大都白搭。其根本原因是存在线性相关的向量。即有一些向量是多余的，没有引入关于那个维度的独立的信息。
存在相同向量 #
首先，存在相同行（列）的矩阵的行列式为零。很明显，向量重叠，何谈体积？
$$ \begin{vmatrix} a & a \\ b & b \end{vmatrix} = a*b - a*b = 0 $$一个向量是另一个的倍数 #
上面提到的数乘性质告诉我们 \(k\) 可以被提取出来，于是又得到一个存在相等向量的矩阵。
$$ \begin{vmatrix} a & ka \\ b & kb \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a & a \\ b & b \end{vmatrix} = k*0 = 0 $$存在零向量 #
这其实是以上 \(k=0\) 的特例。（少一个维度的信息，当然体积为零）
$$ \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{vmatrix} = a*0 - 0*b = 0 $$线性相关 #
或者一个向量是另几个向量的线性组合，导致的结果依旧是存在非独立向量（多余的）。这个等式用到了上述的加法和数乘性质。
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} a & b & k_1a + k_2b \\ a_1 & b_1 & k_1a_1 + k_2b_1 \\ a_2 & b_2 & k_1a_2 + k_2b_2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & b & k_1a \\ a_1 & b_1 & k_1a_1 \\ a_2 & b_2 & k_1a_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & k_2b \\ a_1 & b_1 & k_2b_1 \\ a_2 & b_2 & k_2b_2 \end{vmatrix} = 0 + 0 = 0 \end{align} $$\(k_1, k_2\) 是任意常数。
行列式不变 #
把矩阵其中一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。这个结论由上面的结论推导而来。
$$ \begin{vmatrix} a & c + ka \\ b & d + kb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & ka \\ b & kb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} + 0 = \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} $$不可逆矩阵（奇异矩阵） #
行列式为零的矩阵是不可逆矩阵，也叫奇异矩阵（Singular Matrix）。这类矩阵在某些方向上的变换是失效的，比如会把三维空间压缩到二维或更低。一旦压缩就无法还原，因为看着投影，你不可能知道高是多少。
若一个矩阵是可逆的，则存在一个标准逆矩阵 \(A^{-1}\)，使得所有由它转变的输入都能逆向还原。
$$ A^{-1}(AB) = (AA^{-1})B = IB = B $$例如以下奇异矩阵 \(A\) 变换两个不同的输入向量，结果被映射到同一个向量。多对一的情况下，逆向映射是不可能的。
$$ Av = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = v' = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $$$$ Aw = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = w' = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $$
但凡修改一下 \(A\) 使其行列式不为零，就能逆向映射。因为此时，输入输出是一一对应的。
$$ A'v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $$$$ A'w = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} $$代数上，奇异矩阵没有逆矩阵 \(A^{-1}\) 的原因是，计算逆矩阵的公式里，行列式为零时除数为零，无法计算。细节下一篇再说。
$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}adj(A) $$继续学习：理解矩阵特征值和特征向量